Question

8．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式及其对称轴方程；
（2）由抛物线解析式可求得A、B、C的坐标，根据待定系数法可求得直线BC的解析式；
（3）由A、B、C的坐标可求得OA、OC、OB的长，根据相似三角形的判定可证明△AOC∽△COB．

解答 解：
（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-$\frac{1}{4}$×（-2）²+b×（-2）+4=0，解得b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线解析式为 y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
又∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴对称轴方程为x=3；
（2）在y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4），
令y=0，即-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，整理得x²-6x-16=0，解得x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+4；
（3）△AOC∽△COB成立．
理由如下：
在△AOC与△COD中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、一元二次方程及相似三角形的判定等知识．在（1）中掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键，在（2）中求得B、C的坐标是解题的关键，在（3）中分别求得OA、OC、OB的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．