Question

16．如图，点A、B在函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，点A在点B的左侧，且OA=OB，点A关于y轴的对称点为A′，点B关于x轴的对称点为B′，连接A′B′分别交OA、OB于点D、C．若四边形ABCD的面积为$\frac{6}{5}$，则点A的坐标为（$\frac{1}{2}$，2），点C的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{10}$）．

Answer 1

分析 因为反比例函数y=$\frac{1}{x}$，关于直线y=x对称，因为OA=OB，所以A、B关于直线y=x对称，可以设点A的坐标为（m，$\frac{1}{m}$），则点B的坐标为（$\frac{1}{m}$，m），则点A′的坐标为（-m，$\frac{1}{m}$），点B′的坐标为（$\frac{1}{m}$，-m），求出直线OB、A′B′的解析式，解方程组求出点C的坐标，求出线段CD、AB，列出方程求出m即可解决问题．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{1}{x}$，关于直线y=x对称，
∵OA=OB，
∴A、B关于直线y=x对称，
设点A的坐标为（m，$\frac{1}{m}$），则点B的坐标为（$\frac{1}{m}$，m），则点A′的坐标为（-m，$\frac{1}{m}$），点B′的坐标为（$\frac{1}{m}$，-m），
∴直线OB的解析式为y=m²x，
直线A′B′的解析式为y=-x+$\frac{1}{m}$-m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={m}^{2}x}\\{y=-x+\frac{1}{m}-m}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}}\\{y=\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
∴C[$\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}$，$\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$]，根据对称性可知D[$\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$，$\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}$]，
如图，设A′B′交x轴于F，交y轴于E，连接AA′，作DN⊥OF于N，CM⊥OE于M，DN交CM于G．

∵OE=OF=$\frac{1}{m}$-m，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴∠A′EA=90°，AE=$\sqrt{2}$m，
在Rt△CDG中，∵DG=CG，CD=$\sqrt{2}$CG=$\sqrt{2}$[$\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}$-$\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$]．
同理可得，AB=$\sqrt{2}$（$\frac{1}{m}$-m），
∵四边形ADCB的面积为$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{2}（\frac{1}{m}-m）+\sqrt{2}[\frac{1-{m}^{2}}{m（{m}^{2}+1）}-\frac{m（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}]}{2}$•$\sqrt{2}$m=$\frac{6}{5}$，
整理得$\frac{2（1-{m}^{2}）}{{m}^{2}+1}$=$\frac{6}{5}$，解得m²=$\frac{1}{4}$，∵m＞0，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}$，2），C（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{10}$）．
故答案为（$\frac{1}{2}$，2）或（$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{10}$）．

点评 本题考查反比例函数图象上点的特征、一次函数函数的应用、轴对称、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定直线的交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．