Question

4．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=45°，点E为BD边中点，AE交BC于F．若BF=3，CF=5，则AD的长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作DS∥BC交AF于S，作AH⊥BC于H，延长AD，BC交于G，于是得到∠SDE=∠FBE，根据等腰直角三角形的性质得到CD=CG，设CD=x，则CG=x，DG=$\sqrt{2}$x，BG=8+x，根据全等三角形的判定和性质得到SD=BF=3，根据平行线分线段成比例定理得到HG=6，于是得到结论．

解答 解：如图，作DS∥BC交AF于S，作AH⊥BC于H，延长AD，BC交于G，
∴∠SDE=∠FBE，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAH=45°，
∴∠GAH=45°，
∴∠G=45°，
∵∠BCD=90°，
∴∠CDG=45°，
∴CD=CG，
设CD=x，则CG=x，DG=$\sqrt{2}$x，BG=8+x，
∴FG=x+5，
∴HG=AG=$\frac{8+x}{2}$，CH=$\frac{8+x}{2}$-x=$\frac{8-x}{2}$，
在△SED与△FEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠SDE=∠FBE}\\{EB=ED}\\{∠SED=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△SED≌△FEB，
∴SD=BF=3，
∵SD∥BC，DC∥AH，
∴$\frac{SD}{FG}$=$\frac{AD}{AG}$=$\frac{CH}{HG}$，
$\frac{3}{5+x}$=$\frac{\frac{8-x}{2}}{\frac{8+x}{2}}$，
∴x²=16，
∴x=4，
∴HG=6，
∴AG=6$\sqrt{2}$，
∴AD=6$\sqrt{2}$-4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．