Question

19．如图，已知圆O的周长与扇形OAB所对的弧长的比值为1，那么圆O的面积与扇形OAB的面积的比值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设圆O的半径为r，则圆O的周长为2πr，设扇形OAB所在的半径为R，则扇形OAB的弧长为$\frac{120}{360}$×πR×2=$\frac{2}{3}$πR，由已知得2πr：$\frac{2}{3}$πR=1，求出r与R的关系，再根据圆面积公式解答即可．

解答 解：设圆O的半径为r，则圆O的周长为2πr，
设扇形OAB所在的半径为R，则扇形OAB的弧长为$\frac{120}{360}$×πR×2=$\frac{2}{3}$πR，
（2πr）：（$\frac{2}{3}$×πR×2）=1，
∴2πr=$\frac{2}{3}$πR，
∴r=$\frac{1}{3}$R，
即R=3r
∴（πr²）：（$\frac{120}{360}$πR²）
=πr²：[$\frac{1}{3}$π（3r）²]
=πr²：[$\frac{1}{3}$π×9r²]
=πr²：[3πr²]
=1：3
=$\frac{1}{3}$
即：圆O的面积与扇形OAB的面积的比值为$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 解答本题的关键是先求出圆O与扇形OAB的半径之间的关系，然后利用圆面积公式进一步解答即可．