Question

5．如图所示，等边三角形ABC的边长是4，点D在BC边上移动，连接AD，作AD的垂直平分线，分别与边AB、AC相交于点E、F，连接DE、DF．
（1）设BD=x，试用含x的代数式表示△BDE和△CDF的周长；
（2）在点D的移动过程中，△BDE和△CDF的周长能否相等？如果能，指出点D在BC边的什么位置；如果不能，试简单说明理由．

Answer 1

分析 （1）先用CD表示出BD，然后再利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到AE=DE，所以△BDE的周长等于AB+BD，整理即可；
（2）要使△BDE和△CDF的周长相等，则4+x=8-x，解方程即可求得BD的长，进而求得DC的长，从而判定D的位置．

解答 解：（1）∵BD=x，BC=4，
∴CD=4-x．
∵EF是AD的垂直平分线，
∴DE=AE，AF=DF，
∴C_△BDE=AB+BD，C_△CDF=AC+CD
即C_△BDE=4+x，C_△CDF=4+4-x=8-x，
（2）要使△BDE和△CDF的周长相等，则4+x=8-x，
解得x=2，
∴BD=CD，
∴点D在BC边的中点位置时，△BDE和△CDF的周长相等．

点评 本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．