Question

12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE=CF，
（1）求证：AE是⊙O的直径；     
（2）若∠ABC=∠EAC，AE=8，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）由BE=CF，则可证得∠BAE=∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．

解答 （1）证明：∵BE=CF，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CF}$，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴ADC=90°，
∴∠FAD+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠E+∠BAE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O的直径；

（2）如图，连接OC，
∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OA，
∴∠CAO=∠ACO=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵AE=8，∴AO=CO=4，
∴AC=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理和其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．