Question

12．规定符号△（x）（x是正整数）满足下列性质：
①当x为质数时，△（x）=1
②对于任意两个正整数p和q，有△（p•q）=p△（q）+q△（p）
例如：△（9）=△（3×3）=3△（3）+3△（3）=3×1+3×1=6；△（15）=△（3×5）=3△（5）+5△（3）=3×1+5×1=8；△（30）=△（2×15）=2△（15）+15△（2）=2×8+15×1=31
问：
（1）填空：△（4）=4，△（16）=32，△（32）=80；
（2）求△（2016）．

Answer 1

分析 （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用已知新定义计算即可得到结果．

解答 解：（1）△（4）=△（2×2）=2△（2）+2△（2）=4△（2）=4×1=4，
△（16）=△（4×4）=4△（4）+4△（4）=8△（4）=8×4=32，
△（32）=△（2×16）=16△（2）+2△（16）=16+64=80；
（2）△（2016）=△（32×63）=63△（32）+32△（63）=63×80+32△（7×9）=5040+32×（9△（7）+7△（9））=5040+32×（9+42）=6672．

点评 此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．