Question

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，A（0，-2）、C（4，0），连接AC，若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向B移动，1秒以后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO、OC、CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
（1）设△APQ的面积为y，求y与t的函数关系及定义域；
（2）当P到达AB中点时，求P、Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线x=2上是否存在点H，使得∠HOQ＞∠POQ？若存在，求点H的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）分类讨论点Q分别在OA，OC，BC上时，分别计算y的值，即可解题；
（2）根据P在AB中点，求得此时Q点的位置即可解题；
（3）分类讨论点Q分别在OA，OC，BC上时，分别计算y的取值范围，取交集，即可解题；

解答：解：（1）点Q运动

8

7

秒就停止，而此时P点仍未到达B点，
∴当1＜t＜

9

7

时，点Q在OA上，此时y=

1

2

AP•AQ=

1

2

×t×7（t-1）=

7t2-7t

2

；
当

9

7

≤t≤

13

7

时，点Q在OC上，此时y=

1

2

AP•AO=t；
当

13

7

＜t＜

15

7

时，点Q在BC上，此时y=

1

2

AP•BQ=

15t-7t2

2

；
（2）∵AB=4，
∴P到达AB中点耗时2秒，此时点Q走了1秒，位于BC中点，
∴此时点（2，-2），
点Q（4，-1）；
（3）如图，画出直线x=2，在AB上标记P点，x=2上找到H点，

分类讨论：
①当点Q位于OA上时，∠HOQ＞∠POQ，H纵坐标y＞-2即可；
②当点Q位于OC上时，∠HOQ＞∠POQ，H纵坐标y＞2即可；
③当点Q位于BC上时，∠HOQ＞∠POQ，H纵坐标y＞2即可；
故存在，点H的纵坐标的取值范围为y＞2．

点评：本题考查了一次函数的应用，考查了动点问题的分类讨论思维，本题中分类讨论Q点位置是解题的关键．