Question

4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径与tan∠ADE．

Answer 1

分析 （1）由相切的性质得：OD⊥AC，同圆的半径相等和等边对等角得：∠ODB=∠OBD，最后利用等角的余角相等得：∠DBC=∠BDC，由等角对等边得出BC=CD；
（2）由直径所对的圆周角是直角得：∠EDB=90°，利用同角的余角相等得结论；
（3）设⊙O的半径为r，利用勾股定理列方程可求出r的值，证明△AED∽△ADB，得$\frac{ED}{BD}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，利用同角的三角函数可得结论．

解答 证明：（1）连接OD，
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBD=90°，
∵AC与⊙O相切，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD；
（2）∵EB是⊙O的直径，
∴∠EDB=90°，
∴∠ODE+∠ODB=90°，
∵∠ADO=90°，
∴∠ADE+∠ODE=90°，
∴∠ADE=∠ODB，
∵∠ODB=∠ABD，
∴∠ADE=∠ABD；
（3）设⊙O的半径为r，则OE=OD=r，AO=1+r，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD²+OD²=AO²，
∴2²+r²=（1+r）²，
r=$\frac{3}{2}$，
∴2r=3，AB=1+3=4，
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABD，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{ED}{BD}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴tan∠ADE=tan∠ABD=$\frac{ED}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
则⊙O直径是3，tan∠ADE的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质和判定、勾股定理以及等腰三角形的性质和判定，难度适中，属于常考题型，在计算圆的直径时，可设半径为r，根据勾股定理列方程解决问题．