Question

9．如图，⊙M与x轴相交于A（2，0）、B（8，0），与y轴相切于点C，P是优弧AB上的一点，则tan∠APB为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 如图，作MN⊥AB于N，连接PA、PB、MA、MB、MC．首先证明四边形CONM是矩形，可得CM=AM=ON=5，在RtAMN中，MN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，由∠P=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMN，推出tan∠APB=tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{3}{4}$．

解答 解：如图，作MN⊥AB于N，连接PA、PB、MA、MB、MC．

∵A（2，0），B（8，0），
∴OA=2，OB=8，AN=BN=3，
∵C是切点，
∴∠MCO=∠CON=∠MNO=90°，
∴四边形CONM是矩形，
∴CM=AM=ON=5，
在RtAMN中，MN=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵∠P=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMN，
∴tan∠APB=tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{3}{4}$．
故选B．

点评 本题考查切线的性质、圆周角定理、坐标与图形、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是掌握添加辅助线的方法，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．