Question

4．如图：△ABC中，AB=AC，内切圆⊙O与边BC、AB分别切于点D、E、F，若∠C=30°，CE=2$\sqrt{3}$，则AC=4．

Answer 1

分析 根据切线长定理，得到D是BC的中点，从而得到A，O，D三点共线．根据等腰三角形的三线合一得到直角三角形ACD．根据切线长定理得到CD=CE，则根据锐角三角函数即可求得AC的长．

解答 解：连接AO、OD；
∵O是△ABC的内心，
∴OA平分∠BAC，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D是切点，
∴OD⊥BC；
又∵AC=AB，
∴A、O、D三点共线，即AD⊥BC，
∵CD、CE是⊙O的切线，
∴CD=CE=2$\sqrt{3}$，
∵∠C=30°，CE=2$\sqrt{3}$，
∴CA=$\frac{CD}{cos∠C}$=4，
故答案为：4．

点评 本题运用了切线长定理和等腰三角形的三线合一的性质，关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．