Question

19．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连接GF，有下列结论：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=$\sqrt{2}$+1；③四边形AEFG是菱形；④S_△ACD=$\sqrt{3}$S_△OCD．
其中正确结论的序号是①②③．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 根据翻转变换的性质、正方形的性质进行计算，判断即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
由折叠的性质可知，∠ADE=∠BDE=22.5°，
∴∠AGD=180°-90°-22.5°=112.5°，①正确；
设AE=x，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
解得，x=$\sqrt{2}$-1，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$+1，②正确；
由同位角相等可知，GF∥AB，EF∥AC，
∴四边形AEFG是平行四边形，
由折叠的性质可知，EA=EF，
∴四边形AEFG是菱形，③正确；
由正方形的性质可知，S_△ACD=2S_△OCD，④错误，
故答案为：①②③．

点评 本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、解直角三角形的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．