Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在△ABC内部，AB=BD，AD=$\sqrt{2}$CD，E为BC边的中点，连接DE，若S_△ACD=1，则线段DE的长为1．

Answer 1

分析 如图，作BM⊥AD于M，在BM上截取BN，使得BN=AD，连接AN、DN．由△ABN≌△DBN，推出AN=DN，由△ABN≌△CAD，推出AN=DN=DC，∠ANB=∠ADC，推出△ADN是等腰直角三角形，推出∠ADN=∠DAN=∠ANM=45°，推出∠ANB=135°，由∠ADC=∠ANB=135°，推出∠ADN+∠ADC=180°，推出C、D、N共线，由BE=CE，DN=CD，推出DE=$\frac{1}{2}$NB，设AN=DN=CD=x，推出$\frac{1}{2}$•CD•AN=1，推出x²=2，推出x=$\sqrt{2}$，推出AN=DN=$\sqrt{2}$，在Rt△AND中，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=2，推出BN=AD=2，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作BM⊥AD于M，在BM上截取BN，使得BN=AD，连接AN、DN．

∵BA=BD，
∴∠ABN=∠DBN，
在△ABN和△DBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=BN}\\{∠ABN=∠DBN}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△DBN，
∴AN=DN，
∵∠CAD+∠BAM=90°，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠ABN=∠CAD，
在△ABN和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABN=∠CAD}\\{BN=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△CAD，
∴AN=DN=DC，∠ANB=∠ADC，
∵AD=$\sqrt{2}$CD，
∴AD=$\sqrt{2}$AN=$\sqrt{2}$DN，
∴AN²+DN²=AD²，
∴△ADN是等腰直角三角形，
∴∠ADN=∠DAN=∠ANM=45°，
∴∠ANB=135°，
∵∠ADC=∠ANB=135°，
∴∠ADN+∠ADC=180°，
∴C、D、N共线，
∵BE=CE，DN=CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$NB，设AN=DN=CD=x，
∴$\frac{1}{2}$•CD•AN=1，
∴x²=2，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴AN=DN=$\sqrt{2}$，
在Rt△AND中，AD=$\sqrt{A{N}^{2}+D{N}^{2}}$=2，
∴BN=AD=2，
∴DE=$\frac{1}{2}$BN=1．
故答案为1．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．