Question

在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M，FH的中点是P．
（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：
 ①△BMF是

 

三角形；
②MP与FH的位置关系是

 

，MP与FH的数量关系是

 

；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题：
 ①证明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP与FH的位置关系与数量关系的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得FB=BM=MD=DH，然后利用“边角边”证明△FBM和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=MH，再求出∠FMH=90°，得到FM⊥HM，然后根据等腰直角三角形的定义证明即可；
（2）连接MB、MD，设FM与AC交于点Q，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，然后得到四边形BCDM是平行四边形并求出∠CBM=∠CDM，再求出∠FBM=∠MDH，然后利用“边角边”证明△FBM和△MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=MH，全等三角形对应角相等可得∠MFB=∠HMD，根据两直线平行，内错角相等可得∠AQM=∠FMD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠FMH=∠FBQ=90°，再根据等腰直角三角形的定义证明即可；
（3）证明方法同（2）．

解答：解：（1）△FMH是等腰直角三角形．
∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，点N与点G重合，点M与点C重合，
∴FB=BM=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90°，
在△FBM和△MDH中，

FB=DH ∠FBM=∠MDH=90° BM=MD

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，
∵∠FMB=∠DMH=45°，
∴∠FMH=90°，
∴FM⊥HM，
∴△FMH是等腰直角三角形；
②∵△FMH是等腰直角三角形，P是斜边FH的中线，
∴MP⊥FH，MP=

1

2

FH，

（2）①△FMH是等腰直角三角形，
连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点Q．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBC=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

MD=BF ∠FBM=∠MDH MB=DH

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠AQM=∠FMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠AQM-∠MFB=∠FBC=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形；
②仍然成立；
∵△FMH是等腰直角三角形，P是斜边FH的中线，
∴MP⊥FH，MP=

1

2

FH，

（3）三个结论还成立；
连接MB、MD，如图3，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

MD=BF ∠FBM=∠MDH MB=DH

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠APM=∠FMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．
∵是斜边FH的中线，
∴MP⊥FH，MP=

1

2

FH；

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形和平行四边形的解题的关键．