Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E．
（1）过A作AG⊥AF，交CB延长线于点G，求证：①AG=AF，②AF=DF+BE；
（2）延长AF交BC延长线于点H，若AE=EH，求此时DF的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①利用正方形的性质和已知条件可证明：△ABG≌△ADF，由全等三角形的性质即可得到AG=AF；②由①可知：∠GAB=∠DAF，GB=DF，所以∠GAE=∠DAE，在正方形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAE=∠BEA，进而可得∠GAE=∠BEA，所以AG=GE，所以AF=GB+BE问题得证；
（2）若AE=EH，则可证明出∠DAF=∠FAE=∠BAE=

1

3

×90°=30°，利用30°角的正切值即可求出DF的长．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABG=∠D=∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
又∵AG⊥AF，
∴∠GAB+∠BAF=90°，
∴∠GAB=∠DAF，
在△ABG和△ADF中，

∠ABG=∠D=90° AB=AD ∠GAB=∠DAF

，
∴△ABG≌△ADF（ASA），
∴AG=AF；                    
②∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵△ABG≌△ADF，
∴∠GAB=∠DAF，GB=DF，
∴∠GAE=∠DAE，
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠GAE=∠BEA，
∴AG=GE，
∵AG=AF，
∴GE=AF，
∴AF=GB+BE，
∴AF=DF+BE；
（2）∵AD∥BC，
∴∠H=∠DAF，
∵AE=EH，
∴∠H=∠FAE，
∵∠BAE=∠FAE，
∴∠DAF=∠FAE=∠BAE=

1

3

×90°=30°，
在Rt△ADF中，tan∠DAF=

DF

AD

，
即tan30°=

DF

1

=

3

3

，
∴DF=

3

3

．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解答（2）中时求出∠DAF=∠FAE=∠BAE=

1

3

×90°=30°，是解题的关键．