Question

8．如图，过?ABCD的对角线AC的中点O任作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE，有下面四个结论，①OH=OF；②∠HGE=∠FGE；③S_{四边形DHOG}=S_{四边形BFOE}；④△AHO≌△AEO，其中正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ①②③
• C． ②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCG，然后利用“角边角”证明△AOE和△COG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形EFGH是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得到四边形EFGH是菱形，根据菱形的性质得到∠HGE=∠FGE，根据全等三角形的判定得到△DOG≌△BOE，同理△DOH≌△BOF，于是得到S_{四边形DHOG}=S_{四边形BFOE}，由于OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，得到△AHO不一定全等于△AEO，于是得到结论．

解答 解：四边形EFGH是菱形．
证明：连接AC，BD，
则AC，BD必过O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EAO和△CGO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COG}\end{array}\right.$，
∴△EAO≌△CGO（ASA），
∴OE=OG，
同理OH=OF，故①正确；
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵HF⊥EG，
∴四边形EFGH是菱形，
∴∠HGE=∠FGE，故②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，
在△DOG与△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠BOE=∠DOG}\\{OG=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOG≌△BOE，
同理△DOH≌△BOF，
∴S_{四边形DHOG}=S_{四边形BFOE}，故③正确；
∵OH不一定等于OE，AH不一定等于AE，
∴△AHO不一定全等于△AEO，故④错误；
故选B．

点评 本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．