题目内容
8．
在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．（1）填空：A、C两港口间的距离为120km，a=2；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）求y1，y2与x的函数表达式；
（4）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围．
分析 （1）由甲船行驶的函数图象可以看出，甲船从A港出发，0.5h后到达B港，ah后到达C港，又由于甲船行驶速度不变，则可以求出a的值；
（2）分别求出0.5h后甲乙两船行驶的函数表达式，联立即可求解；
（3）待定系数法求0≤x≤0.5时y1的函数解析式，结合（2）可知y1，y2与x的函数表达式；
（4）将该过程划分为0≤x≤0.5、0.5＜x≤1、x＞1三个范围进行讨论，得到能够相望时x的取值范围．
解答 解：（1）A、C两港口间距离s=30+90=120（km），
又由于甲船行驶速度不变，
故30÷0.5=60（km/h），
则a=2（h）．
（2）由点（3，90）求得，y2=30x．
当0.5＜x≤2时，设解析式为y1=ax+c，
由点（0.5，0），（2，90）则，$\left\{\begin{array}{l}{0.5a+c=0}\\{2a+c=90}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=60}\\{c=-30}\end{array}\right.$
∴y1=60x-30，
当y1=y2时，60x-30=30x，解得，x=1．
此时y1=y2=30．
所以点P的坐标为（1，30）．
该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km；
（3）当0≤x≤0.5时，设解析式为：y1=kx+b，由点（0.5，0），（0，30）求得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=30}\\{0.5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-60}\\{b=30}\end{array}\right.$
∴y1=-60x+30，
由（2）知，当0.5＜x≤2时，y1=60x-30，
故y1=$\left\{\begin{array}{l}{-60x+30}&{（0≤x≤0.5）}\\{60x-30}&{（0.5＜x≤2）}\end{array}\right.$，
y2=30x；
（4））①当x≤0.5时，依题意，（-60x+30）+30x≤10．解得，x≥$\frac{2}{3}$．不合题意．
②当0.5＜x≤1时，依题意，30x-（60x-30）≤10
解得，x≥$\frac{2}{3}$．所以$\frac{2}{3}$≤x≤1．
③当x＞1时，依题意，（60x-30）-30x≤10
解得，x≤$\frac{4}{3}$．所以1＜x≤$\frac{4}{3}$
④当2≤x≤3时，甲船已经到了而乙船正在行驶，
∵90-30x≤10，解得x≥$\frac{8}{3}$，
所以，当 $\frac{8}{3}$≤x≤3，甲、乙两船可以相互望见；
综上所述，当$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{4}{3}$时或当$\frac{8}{3}$≤x≤3时，甲、乙两船可以相互望见．
故答案为：（1）120，2．
点评 此题主要考查了一次函数的应用以及函数方程、函数图象与实际结合的问题，利用数形结合得出关键点坐标是解题关键．
如图：在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，图中与△ABC相似的三角形有△ADC，△DEC，△ADE．
如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=$\sqrt{3}$，∠APO=30°，则⊙O的半径为1．
甲、乙两车从A地匀速驶向B地，甲车比乙车早出发2小时，并且甲车图中休息了0.5小时后仍以原速度驶向B地，如图是甲、乙两车行驶的路程y（千米）与行驶的时间x（小时）之间的函数图象．下列说法：| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{12}$ | C． | $\sqrt{18}$ | D． | $\sqrt{27}$ |
如图，已知菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为$\frac{24}{5}$cm．