Question

5．平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴直线x=-1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点K是直线AC下方的抛物线上一点，且S_△KAC=S_△DAC求点K的坐标；
（3）如图2若点P是线段AC上的一个动点，∠DPM=30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）根据条件可得到关于a、b、c的三元一次方程组，只需解这个方程组就可解决问题；
（2）过点D作DH⊥y轴于H，连接EK交y轴于F，连接EC，如图1，运用割补法可求出△DAC的面积，易得S_△ADC=S_△AEC，由S_△KAC=S_△DAC，可得S_△KAC=S_△EAC，从而可得EK∥AC，根据平行线分线段成比例可求出OF，然后运用待定系数法可求出直线EK的解析式，只需求出直线EK与抛物线的交点坐标就可解决问题；
（3）设点P在点A处时点M在点M′，点P在点C处时点M在点M″，如图2．易证△DPC∽△DMM″，△DAC∽△DM′M″，从而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，由于∠DCP是定值，因此点M的运动路径是线段M′M″，然后只需根据△DM′M″∽△DAC，运用相似三角形的性质就可解决问题．

解答 解：（1）由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{c=3}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）过点D作DH⊥y轴于H，连接EK交y轴于F，连接EC，如图1．

由y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4可得顶点D为（-1，4），
∴S_△ADC=S_梯形AOHD-S_△OAC-S_△DHC
=$\frac{1}{2}$（1+3）×4-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×1×（4-3）=3．
又∵S_△AEC=$\frac{1}{2}$AE•OC=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∴S_△ADC=S_△AEC．
∵S_△KAC=S_△DAC，
∴S_△KAC=S_△EAC，
∴EK∥AC，
∴$\frac{OF}{OC}=\frac{OE}{OA}$，
∴$\frac{OF}{3}=\frac{1}{3}$，
∴OF=1，F（0，1）．
设直线EK的解析式为y=mx+n，则有
$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线EK的解析式为y=x+1．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴点K的坐标为（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）；

（3）设点P在点A处时点M在点M′，点P在点C处时点M在点M″，如图2．

∵∠CDM″=∠PDM=90°，∠DPM=∠DCM″=30°，
∴$\frac{DM}{DP}=\frac{DM″}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠PDC=∠MDM″，
∴△DPC∽△DMM″，
∴∠DCP=∠DM″M．
同理可得△DAC∽△DM′M″，
∴∠DCA=∠DM″M′．
∴∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，
∵∠DCP是定值，
∴点M的运动路径是线段M′M″．
∵△DM′M″∽△DAC，
∴$\frac{M′M″}{AC}$=$\frac{DM″}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴M′M″=$\sqrt{6}$，
∴点M的运动路径长为$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、求直线与抛物线的交点坐标、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，运用割补法及逆用平行等积法是解决第（2）小题的关键，确定点M的运动路径是解决第（3）小题的关键．