Question

10．如图，△ABC中，分别以AB、AC为边向外作正△ABD、△ACE．试说明：
（1）CD=BE；
（2）求CD与BE所成的锐角的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，即可求出CD与BE所成的锐角的度数．

解答 解：（1）∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC
=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°，
∴∠BPD=180°-∠BPC=60°，
即CD与BE所成的锐角的度数为60°．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DAC≌△BAE，题目是一道比较好的题目，难度适中．