Question

如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将
△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．
（1）求证：∠EAF=45°；
（2）求证：EF=DE；
（3）求证：BE²+DC²=DE²．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）根据旋转的性质可得∠FAD=90°，然后根据∠FAE=90°-∠DAE代入数据计算即可得解；
（2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ADC和△AFB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=AF，然后利用“边角边”证明△AED和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DE；
（3）求出∠FBE=90°，再利用勾股定理列式整理即可得证．

解答：证明：（1）∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴∠FAD=90°，
又∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°；

（2）∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，
∴AD=AF，
在△AED和△AEF中，

AD=AF ∠DAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴EF=DE；

（3）在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵△ADC≌△AFB，
∴∠ACB=∠ABF，CD=BF，
∴∠ABC+∠ABF=90°，
即∠FBE=90°，
在Rt△FBE中，BE²+BF²=FE²，
∴BE²+DC²=DE²．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并准确识图，理清图中各角度和边之间的关系是解题的关键．