Question

如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F．求：
（1）⊙O的半径；
（2）求CE•CF的值．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到BM=AM=

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2

AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，根据勾股定理得BM=4k，
则4k=4，解得k=1，于是得到圆O的半径为5；
（2）连结AE，如图，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=8，AM=4，由勾股定理计算出AC²=AM²+CM²=80，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到弧AC=弧BC，在根据圆周角定理得∠AEC=∠CAF，易证得△CAE∽△CFA，得到相似比AC：CF=CE：AC，然后根据比例性质得CE•CF=AC²=80．

解答：解：（1）连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，
∵直径CD⊥AB，
∴BM=AM=

1

2

AB=4，
在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，
∴BM=

OB2-OM2

=4k，
∴4k=4，解得k=1，
∴圆O的半径为5；
（2）连结AE，如图，
在Rt△ACM中，CM=OC+OM=5+3=8，AM=4，
∴AC²=AM²+CM²=16+64=80，
∵直径CD⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AEC=∠CAF，
又∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAE∽△CFA，
∴AC：CF=CE：AC，
∴CE•CF=AC²=80．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．