Question

17．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．
（1）求证：BE=CF；
（2）当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值，如果变化，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质和等边三角形的性质，根据SAS证明△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，根据S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC得出四边形AECF的面积不会发生变化；再作AH⊥BC于点H．求出AH的值，根据S_{四边形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH，代入计算即可求解．

解答 （1）证明：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠B=60°，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC．
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（2）解：四边形AECF的面积不会发生变化．理由如下：
∵△BAE≌△CAF，
∴S_△ABE=S_△ACF，
∴S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，
∵△ABC的面积是定值，
∴四边形AECF的面积不会发生变化．
如图，作AH⊥BC于点H．
∵AB=AC=BC=4，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=2，
AH=AB•sin∠B=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题的关键，难度适中．