Question

7．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=$\sqrt{3}$，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1-x，由△ADB′′∽△DEC，可得$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DB′}{EC′}$，列出方程即可解决问题；
（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；
（3）如图3中，点C的运动路径的长为$\widehat{CC′}$的长，求出圆心角、半径即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1-x，
∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，
∴∠B′AD=∠EDC′，
∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴DB′=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴△ADB′∽△DEC′，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DB′}{EC′}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{1-x}$=$\frac{\sqrt{2}}{x}$，
∴x=$\sqrt{6}$-2．
∴CE=$\sqrt{6}$-2．

（2）如图2中，
∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，
∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，
∴∠B′AF=∠B′FA=45°，
∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，
∴DF=DG，
在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，
∴AF=$\sqrt{2}$AB′=$\sqrt{2}$，
∴DF=DG=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴S_△DFG=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）²=$\frac{5}{2}$-$\sqrt{6}$．

（3）如图3中，点C的运动路径的长为$\widehat{CC′}$的长，
在Rt△ADC中，∵tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，
∵∠C′AD=∠DAC=30°，
∴∠CAC′=60°，
∴$\widehat{CC′}$的长=$\frac{60•π•2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．属于中考压轴题．