Question

18．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O₁和半圆O₂，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O₁和O₂的同侧），则由$\widehat{AE}$，EF，$\widehat{FB}$，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于3-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 连接O₁O₂，O₁E，O₂F，过E作EG⊥O₁O₂，过F⊥O₁O₂，得到四边形EGHF是矩形，根据矩形的性质得到GH=EF=2，求得O₁G=$\frac{1}{2}$，得到∠O₁EG=30°，根据三角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结论．

解答 解：连接O₁O₂，O₁E，O₂F，
则四边形O₁O₂FE是等腰梯形，
过E作EG⊥O₁O₂，过FH⊥O₁O₂，
∴四边形EGHF是矩形，
∴GH=EF=2，
∴O₁G=$\frac{1}{2}$，
∵O₁E=1，
∴GE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{O}_{1}G}{{O}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$；
∴∠O₁EG=30°，
∴∠AO₁E=30°，
同理∠BO₂F=30°，
∴阴影部分的面积=S${\;}_{矩形AB{O}_{2}{O}_{1}}$-2S${\;}_{扇形A{O}_{1}E}$-S${\;}_{梯形EF{O}_{2}{O}_{1}}$=3×1-2×$\frac{30•π×{1}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$（2+3）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$．
故答案为：3-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．