Question

1．在?ABCD中，∠C=60°，∠A的平分线把对边CD分成长度为6和4的两段，?ABCD的面积是20$\sqrt{3}$或30$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设∠A的平分线交CD于点E，由角平分线的定义和平行四边形的性质可求得AD=DE，过D作DF⊥AB于点F，则可求得DF的长，可求得平行四边形ABCD的面积．

解答 解：
设∠A的平分线交CD于点E，过D作DF⊥AB于点F，如图，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
当DE=6时，则AD=6，AB=CD=4+6=10
∵∠C=60°，
∴∠DAF=60°，
在Rt△ADF中，由勾股定理可求得DF=3$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四边形ABCD}=AB•DF=10×3$\sqrt{3}$=30$\sqrt{3}$；
当DE=4时，同理可求得DF=2$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四边形ABCD}=AB•DF=10×2$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$；
故答案为：20$\sqrt{3}$或30$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查平行四边形性质，求得AD的长是解题的关键，注意分两种情况．