Question

12．如图（a），抛物线y₁=a（x-2）²-1的顶点为M，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且OA+OB=OC+1．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图（b），P为M点右侧抛物线图象上一点，CH⊥PM于H，若CA=CH，求P点坐标．
（3）将原抛物线绕平面内某一点旋转180°，得到新的抛物线y₂，其顶点为E，设D为原抛物线y₁对称轴上一点，当四边形BCDE为菱形时（按字母顺序构图），求y₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y₁=0，根据根与系数关系，得OA=OB=4，得OC=3，列出方程求出a即可解决问题．
（2）如图（b）中，过点H作EF∥y轴，CE⊥EF于E，MF⊥EF于F，连接MC，AC．由△CEH∽△HFM，得$\frac{CH}{MH}$=$\frac{EC}{HF}$=$\frac{EH}{MF}$，在Rt△CMH中求出HM，推出CH=MH，CE=HF，EH=FM，设MF=a，则EH=a，CE=HF=2+a，由EH+HF=4，列出方程即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①当点D在BC上方时，②当点D在BC下方时，先求出D点坐标，设E（m，n），利用中点坐标公式列出方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵y₁=a（x-2）²-1=ax²-4ax+4a-1，
令y₁=0，则有ax²-2ax+4a-1=0，
∴OA+OB=4，
∵OA+OB=OC+1，
∴OC=3，
∴4a-3=1，
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．

（2）如图（b）中，过点H作EF∥y轴，CE⊥EF于E，MF⊥EF于F，连接MC，AC．

∵CH⊥PM，
∴∠CHM=∠CEH=∠MFH=90°，
∴∠CHE+∠HCE=90°，∠CHE+∠MHF=90°，
∴∠HCE=∠MHF，
∴△CEH∽△HFM，
∴$\frac{CH}{MH}$=$\frac{EC}{HF}$=$\frac{EH}{MF}$，
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，AC=$\sqrt{10}$，MC=2$\sqrt{5}$，
∵AC=CH，
∴HM=$\sqrt{C{M}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{20-10}$=$\sqrt{10}$，
∴CH=HH，EC=HF，EH=MF，设MF=a，则EH=a，CE=HF=2+a，
由EH+HF=4，得a+2+a=4，
∴a=1，
∴点H坐标（3，2），
设直线MH的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
∴直线MH的解析式为y=3x-7，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-7}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（5，8）．

（3）如图（c）中，

①当点D在BC上方时，∵四边形BCDE是菱形，
∴BC=CD=3$\sqrt{2}$，
∴点D坐标（2，3+$\sqrt{14}$），设E（m，n），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+3}{2}=\frac{0+m}{2}}\\{\frac{3+\sqrt{14}}{2}=\frac{3+n}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=\sqrt{14}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标（5，$\sqrt{14}$），
∴新的抛物线y₂的解析式为y₂=-（x-5）²+$\sqrt{14}$．
②当点D在BC下方时，∵四边形BCD′E′是菱形，
∴BC=CD′=3$\sqrt{2}$，
∴点D′坐标（2，3-$\sqrt{14}$），设E′（m，n），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2+3}{2}=\frac{0+m}{2}}\\{\frac{0+3-\sqrt{14}}{2}=\frac{3+n}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=-\sqrt{14}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标（5，-$\sqrt{14}$），
∴新的抛物线y₂的解析式为y₂=-（x-5）²-$\sqrt{14}$．
综上所述，新的抛物线y₂的解析式为y₂=-（x-5）²+$\sqrt{14}$或y₂=-（x-5）²-$\sqrt{14}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、中点坐标公式等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，学会利用参数转化为方程组解决问题，属于中考压轴题．