Question

3．已知a₁=x-1（x≠1且x≠2），a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$，…，a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$，则a₂₀₁₆等于（　　）

• A． $\frac{2-x}{1-x}$
• B． x+1
• C． x-1
• D． $\frac{1}{2-x}$

Answer 1

分析 把a₁代入确定出a₂，把a₂代入确定出a₃，依此类推，得到一般性规律，即可确定出a₂₀₁₆的值．

解答 解：∵a₁=x-1（x≠1且x≠2），
∴a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-x+1}$=$\frac{1}{2-x}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2-x}}$=$\frac{2-x}{1-x}$，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-\frac{2-x}{1-x}}$=x-1…，
∴三个数一循环，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=$\frac{2-x}{1-x}$；
故选A．

点评 此题考查了数字的变化类，用到的知识点是分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．