Question

18．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　）cm²．

• A． 8$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据旋转的性质得∠ABA′=45°，BA′BA=4，△ABC≌△A′BC′，则S_△ABC=S_△A′BC′，再利用面积的和差可得S_阴影部分=S_△ABA′，接着证明△ADB为等腰直角三角形，得到∠ADB=90°，AD=2$\sqrt{2}$，然后利用三角形面积公式计算S_△ABA，从而得到S_阴影部分．

解答 解：AC与BA′相交于D，如图所示，
∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，
∴∠ABA′=45°，BA′=BA=4，△ABC≌△A′BC′，
∴S_△ABC=S_△A′BC′，
∵S_{四边形AA′C′B}=S_△ABC+S_阴影部分=S_△A′BC′+S_△ABA′，
∴S_阴影部分=S_△ABA′，
∵∠BAC=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB=90°，AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABA′=$\frac{1}{2}$AD•BA′=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{2}$（cm²），
∴S_阴影部分=4$\sqrt{2}$cm²．
故选：D．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键．