Question

1．已知：AB=AC=BD=kBE，∠BAC=2∠BED，∠DBE=90°，点O为CE的中点，连接CD、AO．
（1）如图1，C，D、E在一条直线上，k=1，①求∠BDE的度数；②线段AO，CD有怎样的关系？请证明你的结论；
（2）如图2，将△BED绕点B旋转，其他条件不变，求$\frac{CD}{AO}$的值．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质和已知条件求出∠BDE的度数；
②延长CA至M，使AM=AC，连接BM、EM，证明△EBM≌△DBC，得到CD=EM，根据三角形中位线定理证明AO=$\frac{1}{2}$EM，得到答案；
（2）延长CA至G，使AG=AC，连接BG、EG、BC，证明△GBC∽△EBD和△GBE∽△CBD，根据相似三角形的性质得到答案．

解答 解：（1）①BD=k•BE，k=1，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
又∵∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°；
②AO=$\frac{1}{2}$CD；理由如下：
延长CA至M，使AM=AC，连接BM、EM，如图1所示：
∵∠BDE=∠BED，∠BDE=45°，
∴∠BED=45°，
∵∠BAC=2∠BED，
∴∠BAC=90°，又AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵AM=AC，AB=AC，
∴∠MBC=90°，
∴BM=BC，
∵∠DBE=90°，∠MBC=90°，
∴∠EBM=∠DBC，
在△EBM和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠EBM=∠DBC}\\{BM=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△DBC（SAS），
∴CD=EM，
∵点O为CE的中点，AM=AC，
∴AO=$\frac{1}{2}$EM，
∴AO=$\frac{1}{2}$CD；
（2）延长CA至G，使AG=AC，连接BG、EG、BC如图2所示：
∵AG=AC，AB=AC，
∴∠GBC=90°，
又∵∠DBE=90°，
∴∠EBG=∠DBC，
∵AG=AB，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠BAC=2∠ABG，又∠BAC=2∠BED，
∴∠ABG=∠BED，又∠GBC=∠DBE=90°，
∴△GBC∽△EBD，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
又∵∠ABG=∠AGB，
∴△GBE∽△CBD，
∴$\frac{CD}{GE}$=$\frac{BD}{BE}$=k，
∴CD=k•GE，
∵EO=OC，GA=AC，
∴GE=2OA，
∴CD=2k•OA，
∴$\frac{CD}{OA}$=2k．

点评 本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，需作辅助线，构造相似三角形，并运用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．