Question

1．如图，⊙O的半径为1，A、P、B、C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．则四边形APBC的最大面积是√3．

Answer 1

分析 过C作直径CP′，连接P′A、P′B，如图，先利用圆周角定理得到∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，则可判断△ABC为等边三角形，再利用圆周角定理得到∠CAP′=∠CBP′=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到P′A=P′B=$\frac{1}{2}$CP′=1，AC=BC=$\sqrt{3}$，所以四边形AP′BC的面积为$\sqrt{3}$，由于点P运动到点P′的位置时，四边形APBC的最大面积，从而得到四边形APBC的最大面积．

解答 解：过C作直径CP′，连接P′A、P′B，如图，
∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵CP′为直径，
∴∠CAP′=∠CBP′=90°，
而∠AP′C=∠APC=60°，∠BP′C=∠BPC=60°，
∴P′A=P′B=$\frac{1}{2}$CP′=1，AC=BC=$\sqrt{3}$，
∴四边形AP′BC的面积为2×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
当点P运动到点P′的位置时，四边形APBC的最大面积，即四边形APBC的最大面积为$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．