Question

6．已知⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点．M是⊙O上的一个动点，若∠AMB=45°，则△AMB面积的最大值是2$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D点，连结OA、OB、DA、DB根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形，求得AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大，即M点运动到D点，问题得解．

解答 解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D点，连结OA、OB、DA、DB如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=2$\sqrt{2}$，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；即M点运动到D点，
∴△AMB面积的最大值=$\frac{1}{2}$×AB•DC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，
故答案为：2$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理和圆周角定理的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．