Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，将△ABC绕C点旋转一个角度到△DEC，直线AD，EB交于P点，Q是BC的中点，连PQ，在旋转过程中，求：
（1）∠BPA的度数；
（2）PQ的最大值．

Answer 1

分析 （1）设∠BCE=∠ACD=α，可得∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，根据四边形内角和可得∠BPA=90°；
（2）取AB的中点K，连接PK、QK，则KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，继而可得PQ≤KP+KQ=9．

解答 解：（1）∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE=CB，CD=CA，∠BCE=∠ACD，
设∠BCE=∠ACD=α∴∠CBE=∠CEB=∠CAD=∠CDA=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴在四边形BCDP中，∠BPA=360°-90°-α-2（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°；

（2）∵在RT△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
如图，取AB的中点K，连接PK、QK，
则KQ=$\frac{1}{2}$AC=4，PK=AB=5，
∴PQ≤KP+KQ=9，
∴PQ的最大值是9．

点评 本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以PQ为边的三角形，根据三角形三边关系得出PQ的长度范围是解题的关键．