Question

12．如图，一根长为a的竹竿AB斜靠在墙上，竹竿AB的倾斜角为α，当竹竿的顶端A下滑到点A'时，竹竿的另一端B向右滑到了点B'，此时倾斜角为β．
（1）线段AA'的长为a（sinα-sinβ）．
（2）当竹竿AB滑到A'B'位置时，AB的中点P滑到了P'，位置，则点P所经过的路线长为$\frac{（α-β）πa}{360}$（两小题均用含a，α，β的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）分别在在Rt△ABO中和在Rt△A′OB′中，求出OA、OA′即可解决问题．
（2）点P运动轨迹是弧，求出圆心角、半径利用弧长公式计算即可．

解答 解：（1）在Rt△ABO中，∵AB=a，∠ABO=α，
∴OA=AB•sinα=a•sinα，
在Rt△A′OB′中，同理可得OA′=a•sinβ，
∴AA′=OA-OA′=a（sinα-sinβ）．
故答案为a（sinα-sinβ）．

（2）∵PA=PB，∠AOB=90°，
∴OP=PB=PA，
∴∠POB=α，同理可得∠P′OB=β，
∴∠POP′=α-β，
∴则点P所经过的路线长=$\frac{（α-β）π•\frac{1}{2}a}{180}$=$\frac{（α-β）•π•a}{360}$．

点评 本题考查勾股定理、轨迹、弧长公式、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．