Question

17．已知，如图，△ABC，射线AM平分∠BAC
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
作BC的中垂线，与AM相交于G，连接BG，CG
（2）在（1）的条件下，∠BAC+∠BGC=180度．

Answer 1

分析 （1）如图所示，作出线段BC的垂直平分线即可；
（2）如图作GF⊥AC于F，GE⊥AB于E，只要证明△GEB≌△GFC，推出∠EGB=∠CGF，推出∠BGC=∠EGF，由∠EGF+∠BAC=360°-90°-90°=180°，可得∠BGC+∠BAC=180°；

解答 解：（1）如图所示，直线DG即为所求．

（2）如图作GF⊥AC于F，GE⊥AB于E，
∵GA平分∠BAC，
∵GF=GE，
∵DG垂直平分线段BC，
∴BG=GC，
在Rt△HEB和Rt△GFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GB=GC}\\{GE=GF}\end{array}\right.$，
∴Rt△GEB≌Rt△GFC，
∴∠EGB=∠CGF，
∴∠BGC=∠EGF，
∵∠EGF+∠BAC=360°-90°-90°=180°，
∴∠BGC+∠BAC=180°，
故答案为180°．

点评 本题考查作图-基本作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．