题目内容
如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=| k |
| x |
（1）求反比例函数y=
| k |
| x |
（2）求四边形OAED的面积；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，若GH=
5
| ||
| 4 |
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）先根据点D为对角线OB的中点求出D点坐标，代入反比例函数y=
即可得出结论；
（2）根据（1）中反比例函数的解析式求出E点坐标，根据S四边形OAED=S△OAB-S△BDE即可得出结论；
（3）连接GF，先求出F点的坐标，再由图形翻折变换的性质得出OG=GF，根据勾股定理求出GF的长，进而得出G点坐标，根据GH=
，求出H点的坐标，利用待定系数法求出直线GH的函数关系式即可．
| k |
| x |
（2）根据（1）中反比例函数的解析式求出E点坐标，根据S四边形OAED=S△OAB-S△BDE即可得出结论；
（3）连接GF，先求出F点的坐标，再由图形翻折变换的性质得出OG=GF，根据勾股定理求出GF的长，进而得出G点坐标，根据GH=
5
| ||
| 4 |
解答：
解：（1）∵B（4，2），点D为对角线OB的中点，
∴D（2，1），
∵点D在反比例函数y=
（k≠0）上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数的关系式为：y=
；
（2）∵反比例函数的关系式为y=
，四边形OABC是矩形，B（4，2），
∴E（4，
），
∴BE=2-
=
，
∵D（2，1），
∴S四边形OAED=S△OAB-S△BDE=
×4×2-
×
×2=4-
=
；
（3）设点F（a，2），H（b，0），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴
=2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=（2-t）2+12，
解得t=
，
∴OG=t=
，
∴G（0，
），
∵GH=
，
∴OG2+OH2=GH2，即（
）2+b2=（
）2，解得b=
或b=-
（舍去），
∴H（
，0）．
设直线GH的解析式为y=kx+c（k≠0），
∵G（0，
），H（
，0）．
∴
，解得
，
∴直线GH的解析式为y=-
x+
．
解：（1）∵B（4，2），点D为对角线OB的中点，∴D（2，1），
∵点D在反比例函数y=
| k |
| x |
∴k=2×1=2，
∴反比例函数的关系式为：y=
| 2 |
| x |
（2）∵反比例函数的关系式为y=
| 2 |
| x |
∴E（4，
| 1 |
| 2 |
∴BE=2-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵D（2，1），
∴S四边形OAED=S△OAB-S△BDE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
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| 2 |
（3）设点F（a，2），H（b，0），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴
| 2 |
| a |
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=（2-t）2+12，
解得t=
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| 4 |
∴OG=t=
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| 4 |
∴G（0，
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| 4 |
∵GH=
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| ||
| 4 |
∴OG2+OH2=GH2，即（
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| 4 |
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| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴H（
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| 2 |
设直线GH的解析式为y=kx+c（k≠0），
∵G（0，
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| 4 |
| 5 |
| 2 |
∴
|
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∴直线GH的解析式为y=-
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点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、勾股定理等知识，难度适中．
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