Question

如图所示，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，0），过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）在直线x=-

1

2

上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，可得∠BCD=∠OAC，然后利用AAS可证明△BDC≌△COA；
（2）分别求出点B和点C的坐标，然后设出函数关系，代入求出BC所在直线的函数解析式；
（3）若以AC为直角边，点C为直角顶点，求出直线BC与对称轴直线x=-

1

2

的交点即为点P₁的坐标；若以AC为直角边，点A为直角顶点，过点A作AP₂∥BC，求出AP₂与对称轴直线x=-

1

2

的交点，即为P₂．

解答：（1）证明：∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BDC和△COA中，

∠BDC=∠COA=90° ∠BCD=∠OAC BC=AC

，
∴△BDC≌△COA（AAS）；
（2）∵C点坐标为（-1，0），
∴BD=CO=1，
∵B点横坐标为-3，
∴B点坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴

-k+b=0 -3k+b=1

，
解得：

k=- 1 2 b=- 1 2

，
∴BC所在直线的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

；
（3）存在．
∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2
=

1

2

（x+

1

2

）²-

17

8

，
∴二次函数的对称轴为x=-

1

2

，
若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P₁，是CP₁⊥AC，
∴点P₁为直线BC与对称轴直线x=-

1

2

的交点，
由题意得，

y=- 1 2 x- 1 2 x=- 1 2

，
解得：

x=- 1 2 y=- 1 4

，
∴P₁（-

1

2

，-

1

4

）；
若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P₂，是AP₂⊥AC，
则过点A作AP₂∥BC，交对称轴直线x=-

1

2

于点P₂，
∵CD=OA，
∴A（0，2），
则直线AP₂的解析式为y=-

1

2

x+2，
由题意得，

y=- 1 2 x+2 x=- 1 2

，
解得：

x=- 1 2 y= 9 4

，
∴P₂（-

1

2

，

9

4

）．
∴P点坐标分别为：P₁（-

1

2

，-

1

4

），P₂（-

1

2

，

9

4

）．

点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，根据解析式求点的坐标，关键在于（1）推出∠BCD=∠OAC，（2）根据（1）的结论，推出B点的坐标，（3）注意分情况讨论：①若以AC为直角边，C点为直角顶点，推出P₁点为直线BC与对称轴直线x=-

1

2

的交点，②若以AC为直角边，A点为直角顶点，由A点的坐标，求出直线AP₂的解析式．