Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；
（1）求证：CD⊥AB；
（2）在（1）中画△ABC的角平分线AE，交CD于点F，试判断∠AEC和∠CFE的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，则∠A+∠ACD=90°，由三角形内角和及垂直定义可得结论；
（2）画图，根据等角的余角相等可得：∠AEC=∠CFE．

解答 证明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）如图所示，
∠AEC=∠CFE，理由是：
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠ADC=90°，
∴∠BAE+∠AFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AEC=∠CFE．

点评 本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、垂直的定义及余角的性质，属于基础题，熟练掌握同角或等角的余角相等是关键．