Question

10．如图，边长为a的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P，连接AF、AH．
（1）若BF=DH，求证：AF=AH．
（2）若∠FAH=45°，求△FCH的周长（用含a的代数式表示）．
（3）若Rt△GBF的周长为a，求矩形EPHD的面积（用含a的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）因为BF=DH⇒BF=AE，由AB=AD，∠ABC=∠ADH⇒△ABF≌△ADH（SAS）；
（2）将△ADH绕点A顺时针旋转90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得结论；
（3）设BF=x，GB=y，根据线段之间的关系利用勾股定理求出xy的值；

解答 （1）证明：连接AH、AF．

∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°．
∵ADHG与ABFE都是矩形，
∴DH=AG，AE=BF，
又∵BF=DH，
∴AE=BF．
在Rt△ADH与Rt△ABF中，
∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，
∴Rt△ADH≌Rt△ABF，
∴AF=AH．

（2）证明：将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．

在△AMF与△AHF中，
∵AM=AH，AF=AF，
∠MAF=∠MAH-∠FAH=90°-45°=45°=∠FAH，
∴△AMF≌△AHF．
∴MF=HF．
∵MF=MB+BF=HD+BF，
∴△FCH的周长=CF+FH+CH=CF+BF+CH+DH=2a．

（3）解：设BF=x，GB=y，则FC=a-x，AG=a-y，（0＜x＜1，0＜y＜1）
在Rt△GBF中，GF²=BF²+BG²=x²+y²
∵Rt△GBF的周长为a，
∴BF+BG+GF=x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=a，
即 $\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=a-（x+y）
即x²+y²=a²-2a（x+y）+（x+y）²
整理得2xy-2ax-2ay+a²=0
∴xy-ax-ay=-$\frac{1}{2}$a²，
∴矩形EPHD的面积S=PH•EP=FC•AG=（a-x）（a-y）=xy-ax-ay+a²=-$\frac{1}{2}$a²+a²=$\frac{1}{2}$a²．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．