Question

9．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，则∠A₁=32°；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂；…；∠A_n-1BC与∠A_n-1CD的平分线相交于点A_n，要使∠A_n的度数为整数，则n的值最大为6．

Answer 1

分析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠A=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出规律．

解答 解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A=$\frac{1}{2}×$64°=32°；
∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
∴∠A₂=$\frac{1}{4}$∠A，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ∠A=$\frac{64°}{{2}^{n}}$，
∵∠A_n的度数为整数，
∵n=6．
故答案为：32°，6．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$是解题的关键．