Question

1．已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点B（1，0）和点C（9，0）两点，与y轴的负半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴正半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D，交抛物线于点N．
（1）求点A坐标和⊙P的半径；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当△MOB与以点B、C、D为顶点的三角形相似时，求△CDN的面积．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE⊥BC，垂足为E，连结AP．依据垂径定理可知BE=EC=4则OE=5，然后再证明四边形AOEP为矩形可求得到AP=OE=5，在Rt△BEP中，依据勾股定理可求得PE的长；
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-9），将点A的坐标代入求解即可；
（3）△MOB为直角三角形，则△BDC为直角三角形，故此只存在∠BCD为直角的情况，则MB经过点P，然后求得MB的解析式，将直线BM的解析式与抛物线的解析式组成方程组可求得点N的坐标，然后依据CD∥y轴可求得点CD的长，最后依据△CDN的面积=$\frac{1}{2}$DC•（x_N-x_D）求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：过点P作PE⊥BC，垂足为E．

∵PE⊥BC，
∴BE=EC=4．
∴OE=5．
∵⊙P与y轴相切，
∴PA⊥y轴．
∵∠PAO=∠AOE=∠OEP=90°，
∴四边形AOEP为矩形．
∴AP=OE=5，AO=EP．
∴⊙P的半径为5．
在Rt△BEP中，PE=$\sqrt{B{P}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∴OA=3．
∴点A的坐标为（0，-3）．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-9），将点A的坐标代入得：9a=-3，解得a=-$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²$+\frac{10}{3}$x-3．

（3）如图2所示：当直线MB经过点P时．

∵BD为⊙P的直径，
∴∠BCD=90°．
∴∠BCD=∠MOB=90°．
又∵∠MBO=∠CBD，
∴△MOB∽△DCB．
设MB的解析式为y=kx+b，将点B和点D的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{5k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=$\frac{3}{4}$．
∴直线MB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$．
将x=9代入得y=-6．
∴CD=6．
将y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$与y=-$\frac{1}{3}$x²$+\frac{10}{3}$x-3联立解得：x=1或x=$\frac{45}{4}$．
△CDN的面积=$\frac{1}{2}$DC•（x_N-x_D）=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{45}{4}$-9）=$\frac{27}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了，切线的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、垂径定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，得到直线MB经过点P是解答本题的关键．