Question

15．今年以来，国务院连续发布了《关于加快构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》等一系列支持性政策，各地政府高度重视、积极响应，中国掀起了大众创业万众创新的新浪潮．某创新公司生产营销A、B两种新产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax²+bx，当x=1时，y=7；当x=2时，y=12．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=2x．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求a，b的值；
（2）该公司准备生产营销A、B两种产品共10吨，请设计一个生产方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．

解答 解：（1）将x=1，y=7；x=2，y=12代入y=ax²+bx得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=7}\\{4a+2b=12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$．
答：a=-1，b=8；

 （2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=-m²+8m+2（10-m）=-m²+6m+20=-（m-3）²+29，
∵-1＜0，
∴当m=3时，W有最大值29万，
∴购进A产品3吨，购进B产品7吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是29万元．

点评 本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，比较简单，（2）整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键．