Question

1．已知直线y=-$\frac{3}{4}x+3$分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒，以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D，设△COD的OC边上的高为h，当t=$\frac{36}{25}$时，h的值最大．

Answer 1

分析 根据过点D作DE⊥CP于点E，得出△DEC∽△AOB，进而得出CD的长；要使OC边上的高H的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时，CO最短，此时OC的长为$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，进而得出t的值．

解答 解：如图：

以C为顶点的抛物线解析式为y=（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3，
由（x-t）²-$\frac{3}{4}$t+3=-$\frac{3}{4}$x+3，
解得：x₁=t，x₂=t-$\frac{3}{4}$，
过点D作DE⊥CP于点E，
则∠DEC=∠AOB=90°，
DE∥OA，
∴∠EDC=∠OAB，
∴△DEC∽△AOB，
∴$\frac{DE}{AO}$=$\frac{CD}{AB}$，
∵AO=4，AB=5，DE=t-（t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$，
∴CD=$\frac{DE•BA}{AO}$=$\frac{\frac{3}{4}×5}{4}$=$\frac{15}{16}$；
CD边上的高=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{16}$=$\frac{9}{8}$，
∴S_△COD为定值，
要使OC边上的高H的值最大，只要OC最短，
∵当OC⊥AB时，CO最短，此时OC的长为$\frac{12}{5}$，∠BCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，
又∵CP⊥OA，
∴Rt△PCO∽Rt△OAB，
∴$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OC}{BA}$，
∴OP=$\frac{OC•BO}{BA}$=$\frac{12}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{36}{25}$，即t=$\frac{36}{25}$，
当t为$\frac{36}{25}$秒时，h的值最大．
故答案为：$\frac{36}{25}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用已知得出相似三角形，进而得出线段长度是解题关键．