题目内容
9．如图?所示，有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a，b，斜边为c，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形．（1）利用它们之间的面积关系，探索出关于a，b，c的等式；
（2）利用（1）中发现的直角三角形中两直角边a，b和斜边c之间的关系，完成问题：如图?，在直角△ABC中，∠C=90°，且c=6，a+b=8，则△ABC的面积为7；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案，指出以下关系式：
（1）xy=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$ （2）x+y=m （3）x2-y2=m•n（4）x2+y2=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$ 其中正确的有（1）（2）（3）（4）（填序号）
分析 （1）根据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到于a，b，c的等式；
（2）根据（a+b）2=64，a2+b2=c2=36，即可得到ab=14，进而得出△ABC的面积；
（3）根据完全平方公式以及平方差公式，即可得到xy，x+y，x2-y2以及x2+y2之间的数量关系，进而得出正确结论．
解答 解：（1）大正方形的面积=c2，
大正方形的面积=4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）2，
∴4×$\frac{1}{2}$ab+（b-a）2=c2，
∴2ab+b2-2ab+a2=c2，
即a2+b2=c2
（2）∵a+b=8，
∴（a+b）2=64，即a2+2ab+b2=64，
又∵a2+b2=c2=36，
∴2ab=64-36=28，即ab=14，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×14=7
故答案为：7；
（3）∵矩形的边长分别为x，y，
∴矩形的面积=xy=（m2-n2）÷4=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$；
∵大正方形的边长为m，
∴x+y=m；
∵小正方形的边长为n，
∴x-y=n，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）=m•n；
∵x+y=m，xy=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$；
故其中正确的有（1）（2）（3）（4）．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
点评 本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及勾股定理的证明，解题时注意：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理得到勾股定理．
津桥教育计算小状元系列答案| A． | -$\frac{1}{2}$ | B． | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | -$\sqrt{3}$ |
涵涵的作业
| 解：x2-7x+10=0 a=1 b=-7 c=10 ∵b2-4ac=9＞0 ∴x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{7+3}{2}$ ∴x1=5，x2=2 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． |
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根．
（1）当m=2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
如图已知∠1=∠2，∠D=50°，
如图，正方形网络中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形．（无需写画法）
如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1=∠2，连结BD与CG交于点N．