Question

14．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x²-7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
                         涵涵的作业

解：x2-7x+10=0         a=1      b=-7    c=10 ∵b2-4ac=9＞0 ∴x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{7+3}{2}$ ∴x1=5，x2=2 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．

探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根．
（1）当m=2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．

Answer 1

分析 由三角形的三边关系可得出涵涵同学的作业不正确．
（1）求出当m=2时，方程的解，由三角形的三边关系确定等腰三角形的三条边长，再代入三角形的周长公式中即可得出结论；
（2）由△ABC为等边三角形可得出方程有两个相等的实数根，利用根的判别式△=0即可求出m值．

解答 解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．
错误原因：此时不能构成三角形．
（1）当m=2时，方程为x²-2x+$\frac{3}{4}$=0，
∴x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$．
当$\frac{1}{2}$为腰时，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$不能构成三角形；
当$\frac{3}{2}$为腰时，等腰三角形的三边为$\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$、$\frac{1}{2}$，
此时周长为$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$．
答：当m=2时，△ABC的周长为$\frac{7}{2}$．
（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△=（-m）²-4（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）=m²-2m+1=0，
∴m₁=m₂=1．
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．

点评 本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是：（1）根据三角形三边关系确定等腰三角形的三条边长；（2）根据等边三角形的性质结合根的判别式找出关于m的一元二次方程．