Question

3．连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．
（1）

对角线条数分别为2、5、9、$\frac{n（n-3）}{2}$．
（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．
（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．

Answer 1

分析 （1）设n边形的对角线条数为a_n，根据多边形对角线条数公式即可求出结论；
（2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再套用多边形对角线条数公式，即可得出结论．

解答 解：（1）设n边形的对角线条数为a_n，
则a₄=$\frac{4×（4-3）}{2}$=2，a₅=$\frac{5×（5-3）}{2}$=5，a₆=$\frac{6×（6-3）}{2}$=9，…，a_n=$\frac{n（n-3）}{2}$．
故答案为：2；5；9；$\frac{n（n-3）}{2}$．
（2）假设可以，根据题意得：
$\frac{n（n-3）}{2}$=20，
解得：n=8或n=-5（舍去），
∴n边形可以有20条对角线，此时边数n为八．
（3）∵一个n边形的内角和为1800°，
∴180°×（n-2）=1800°，
解得：n=12，
∴$\frac{n（n-3）}{2}$=$\frac{12×（12-2）}{2}$=60．
答：这个多边形有60条对角线．

点评 本题考查了一元二次方程的应用、多边形的对角线以及多边形内角和定理，解题的关键是：（1）根据多边形对角线条数公式求出多边形的对角线条数；（2）根据多边形对角线条数公式，列出关于n的一元二次方程；（3）根据多边形内角和定理，求出边数n．