Question

12．如图，在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为S_ABCD和S_BFDE．现给出下列命题：
（1）若$\frac{{S}_{ABCD}}{{S}_{BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，则tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$      
（2）若DE²=BD•EF，则DF=2AD
那么，下面判断正确的是（　　）

• A． ①正确，②正确
• B． ①正确，②错误
• C． ①错误，②正确
• D． ①错误，②错误

Answer 1

分析 ①由已知先求出cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再求出tan∠EDF，即可判断；
②由S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，及DE²=BD•EF，可得DF•AD=$\frac{1}{2}$DF²，即DF=2AD．

解答 解：①设CF=x，DF=y，BC=h．
∵四边形BFDE是菱形，
∴BF=DF=y，DE∥BF．
∵$\frac{{S}_{矩形ABCD}}{{S}_{四边形BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{（x+y）h}{yh}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BFC=30°，
∵DE∥BF，
∴∠EDF=∠BFC=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以①是真命题．

②∵四边形BFDE是菱形，
∴DF=DE．
∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，
又∵DE²=BD•EF（已知），
∴S_△DEF=$\frac{1}{4}$DE²=$\frac{1}{4}$DF²，
∴DF•AD=$\frac{1}{2}$DF²，
∴DF=2AD，
所以②是真命题．
故选：A．

点评 此题考查了矩形的性质及菱形的性质，解题的关键是①先求出∠EDF的余弦函数值确定其度数，再求出其正切．②用面积法确定．