Question

如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在长方形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（图②③为备用图）

（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积为长方形面积的

1

3

？
（2）整个运动过程中，t为何值时，△APE为直角三角形？
（3）整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的

1

3

，根据题意得：△APE的面积=

1

2

AP•AD=

1

2

t×4=

4×6

3

，从而求得t值；
（2）当P运动到AB中点时AEP为直角三角形，此时角APE为直角，t=3；还有一种情况，当P运动到BC上时，角AEP为直角时利用相似三角形求得AP的长即可求得t值；
（3））第一种情况，当P在AE垂直平分线上时，AP=EP；第二种情况，P运动到点B上时APE为等腰三角形，此时AE=EP，t=6；第三种情况，P在AB上，AP=PE；

解答：解：（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的

1

3

，
根据题意得：AP=t，
∴△APE的面积=

1

2

AP•AD=

1

2

t×4=

4×6

3

，
解得：t=4，
∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的

1

3

；

（2）显然当t=3时，PE⊥AB，
∴△APE是直角三角形，
当P在BC上时，△ADE∽△ECP，
此时

CP

DE

=

CE

AD

，
解得：CP=

9

4

，
∴PB=BC-PC=4-

9

4

=

7

4

，
∴t=6+

7

4

=

31

4

；
（3）①当P在AE垂直平分线上时，AP=EP，
过P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，
∴AE=5，
∴AQ=2.5，
由△AQP∽△EDA，得：

AP

AE

=

AQ

DE

，
即：

AP

5

=

2.5

3

，
解得：AP=

25

6

，
∴t=

25

6

；
．
②当EA=EB时，AP=6，
∴t=6，
③当AE=AP时，
∴t=5．
∴当t=

25

6

、5、6时，△APE是等腰三角形．

点评：本题考查了四边形的综合知识和动点问题，动点问题更是中考中的热点考题，有一定的难度，解题的关键是能够化动为静，利用等腰三角形的性质求解．