Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE．
（1）如图①，当∠C=90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？请给出证明．
（2）如图②，当∠C≠90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？不需要证明，直接写出你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）由角平分线的性质证明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，进而证明BE=DE就可以得出结论；
（2）由角平分线的性质证明△ADE≌△ADC就可以得出DE=CD，进而由外角与内角的关系可以得出BE=DE就可以得出结论．

解答：解：（1）AB=AC+CD．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，

AC=AE ∠CAD=∠BAD AD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=90°=2∠B，
∴∠AED=90°=2∠B，
∴∠B=45°．
∴∠EDB=45°，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
（2）AB=AC+CD．
理由：：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD．
在△ACD和△BAC中，

AC=AE ∠CAD=∠BAD AD=AD

∴△ACD≌△AED（SAS）
∴CD=ED，∠ACD=∠AED．
∵∠ACD=2∠B，
∴∠AED=2∠B．
∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴2∠B=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE
∴BE=ED，
∴BE=CD．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．