Question

如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N．求证：AE=MN．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据题意我们不难得出四边形NEMC是个矩形，因此它的对角线相等．如果连接EC，那么EC=MN，要证明AE=MN，只要证明EC=AE即可．证明AE=EC就要通过全等三角形来实现．三角形ABE和CBE中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一组公共边BE，因此构成了全等三角形判定中的SAS，因此两三角形全等，得AE=EC，即AE=MN．

解答：解：连接EC．

∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，
∴四边形EMCN为矩形．
∴MN=CE．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中

AB=CB ∠ABE=∠CBE BE=BE

∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE=EC．
∴AE=MN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，正方形和矩形的性质等知识点，通过构建全等三角形来证明简单的线段相等是解此类题的常用方法．