Question

6．如图，等腰Rt△ABC与等腰Rt△BDE中，∠BAC=∠DBE=90°，连接CD、CE，取CD中点F，连接AF，判断AF与CE的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 延长CA到M使得AM=AC，连接BM，延长MD、CB交于点N，延长CE交MN于H，由题意AF=$\frac{1}{2}$DM，接下来只要证明△BMD≌△BCE即可．

解答 结论：AF=$\frac{1}{2}$EC，AF⊥EC．
证明：延长CA到M使得AM=AC，连接BM，延长MD、CB交于点N，延长CE交MN于H．
∵∠BAC=90°，
∴BA⊥CM，
∵AM=AC，
∴BM=BC，∠BMC=∠BCM，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BMC=∠BCM=45°，
∴∠MBC=90°，
∵∠DBE=∠MBC=90°，
∴∠MBD=∠CBE，
在△MBD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BC}\\{∠MBD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△MBD≌△CBE，
∴CE=DM，∠BMD=∠BCE，
∵AC=AM，FD=FC，
∴AF∥DM，AF=$\frac{1}{2}$DM，
∴AF=$\frac{1}{2}$DM，
∵∠BMN+∠N=90°，
∴∠BCH+∠N=90°，
∴∠CHN=90°即CH⊥MN，
∵MN∥AF，
∴CH⊥AF．
故AF=$\frac{1}{2}$EC，AF⊥EC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、等角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识，利用中位线的性质构造辅助线是解决问题的关键．